Родился в мексиканском городе Чиуауа в 1915 году в разгар мексиканской революции. Имеет мексиканское, ирландское происхождение по отцу и корни ацтеков по матери.
В юности он изучал искусство и архитектуру у прославленного Фрэнка Ллойда Райта, с которым у него, несмотря на большую разницу в возрасте, завязались дружеские отношения.
В середине 1930-х годов Энтони Куинн увлёкся актёрской карьерой, сперва играя в театре, а затем появившись и на киноэкранах.
В 1947 году Энтони Куинн принял американское гражданство, и на несколько лет предпочёл Голливуду Бродвей. С середины 1950-х Энтони Куинн стал часто сниматься в Италии.
Последние свои годы актёр провёл в Бристоле, штат Род-Айленд. 3 июня 2001 года Энтони Куинн скончался от пневмонии и дыхательной недостаточности, явившимися осложнениями рака гортани, в возрасте 86 лет